Ну, во-первых, если принять официальную версию, Русь для монголов должна была быть Западом, а никак не Севером.
Что касается Китая, то он так называется только в русском, украинском, белорусском, болгарском и словенском языках. Если бы это название было бы заимствовано от "монголов", то народы Европы, непосредственно столкнувшиеся с этими "монголами" в 1240-е годы, звали бы китайцев так же, но у них названия восходят к Цин: Венгрия, Сербия, Хорватия - Kina, Польша - Chiny, Германия - China. В Италии вообще Porcelan, т.е. "страна Фарфора".
В общем, для кого с чем Китай ассоциировался, так его и звали: для русских и родственных народов - со Стеной, для римлян и их потомков - с фарфором ВШП, для других европейцев - с государством Цин, порты которого они открыли для себя в 16 веке.
И только небольшое племя киданей тут явно лишнее.