На Кавказ они точно не продвинулись. А вот восточная граница у хазар точно была плавающей...
Если речь о хазарах - то Кавказ как раз их родина.
Вот что пишет Вика:
"Первоначально обитая в районе к северу от Дербента в пределах современного
равнинного Дагестана, хазары стали расселяться в контролируемых регионах: в Крыму, на Дону и особенно в Нижнем Поволжье, куда в VIII веке была перенесена столица государства. Несколько групп хазар в результате длительных войн против Ирана и Арабского халифата были насильно переселены
в Закавказье."
Да и само Каспийское море долгое время называлось Хазарским - Бахр аль-Хазар, Дарьяе Хазар.
Но почему? Монголо-татары добрались далеко. Дань им платили и Галицко-Волынское княжество и Великий Новгород.
Более того, татары разорили пол-Европы:
Польшу (зимой 1241 года они захватили Люблин и Завихост, Сандомир, взяли Краков, Бытом и др.),
Моравию/Чехию (гг. Опава, Бенешов, Пршеров, Литовел и Евичко), Словакию (Банска Штьявница, Пуканец, Крупина).
Монголы же (царевич Байдар) разбили в 1241 г. объединенным польско-немецким войском князя Генриха Благочестивого в битве при Легнице (это аж в Силезии), дошли до Майнца (в Саксонии) и Нойштадта (Австрия),
всю Венгрию, разбив короля Белу IV при р. Шайо.
Гибель войска сделала венгерские земли беззащитными перед лицом завоевателей. Корпус Кадана от Пешта прошёл к Адриатическому морю, разорив Хорватию и Далмацию. На обратном пути монгольские войска разграбили и выжгли поселения Сербии и Болгарии, Валахии.
Император Священной Римской империи Фридрих II на монгольское требование об изъявлении покорности ещё в 1238 г. ответил, что, как знаток соколиной охоты, мог бы стать сокольничим хана (возможно, поэтому Германию/Австрию и не тронули).
ВСЯ ЕВРОПА трепетала перед ними!